쌍조건문 도입

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1. 개요
2. 정의
3. 형식 표기법
4. 성질
참조

1. 개요

쌍조건문 도입은 논리학의 추론 규칙 중 하나로, P → Q와 Q → P가 참일 때 P ↔ Q를 결론으로 도출한다. 시퀀트 표기법으로는 (P → Q), (Q → P) ⊢ (P ↔ Q)로 나타낼 수 있으며, 명제 논리의 항진명제 또는 정리로 ((P → Q) ∧ (Q → P)) → (P ↔ Q)로 표현할 수 있다. 이 규칙은 직관 논리에서 성립하며, 고전 논리를 포함한 모든 초직관 논리에서도 유효하다.

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쌍조건문 도입
규칙 정보
종류	추론 규칙
분야	명제 논리
설명	만약 P → Q가 참이고 Q → P가 참이라면, P ↔ Q가 참이라고 추론할 수 있음.
형식	P → Q, Q → P ∴ P ↔ Q

2. 정의

'''쌍조건문 도입'''은 다음과 같은 추론 규칙이다.^[4]

: $\begin{matrix}P\implies Q\qquad Q\implies P \\\hlineP\iff Q\end{matrix}$

또는

: $P\implies Q,Q\implies P\vdash P\iff Q$

여기서

$P$ , $Q$ 는 논리식을 나타내는 메타 변수이다.
$\implies$ 는 함의이다.
$\iff$ 는 동치이다.
수평선은 증명 과정의 이웃한 두 단계를 구분하는 메타 논리 기호이다.
$\vdash$ 는 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타 논리 기호이다.

3. 형식 표기법

쌍조건문 도입은 다음과 같은 추론 규칙이다.^[4]

: $\begin{matrix}P\implies Q\qquad Q\implies P \\\hlineP\iff Q\end{matrix}$

또는

: $P\implies Q,Q\implies P\vdash P\iff Q$

여기서

$P$ , $Q$ 는 논리식을 나타내는 메타 변수이다.
$\implies$ 는 함의이다.
$\iff$ 는 동치이다.
수평선은 증명 과정의 이웃한 두 단계를 구분하는 메타 논리 기호이다.
$\vdash$ 는 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타 논리 기호이다.

쌍조건문 도입 규칙은 시퀀트 표기법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

(P \to Q), (Q \to P) \vdash (P \leftrightarrow Q)

여기서

\vdash

는

P \to Q

와

Q \to P

가 증명에 모두 포함될 때

P \leftrightarrow Q

가 구문론적 함의임을 의미하는 메타논리 기호이다.

또는 명제 논리의 진리 함수적 항진명제 또는 정리의 진술로 나타낼 수 있다.

:

((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (P \leftrightarrow Q)

여기서

P

와

Q

는 일부 형식 체계에서 표현된 명제이다.

4. 성질

직관 논리에서 성립하며, 따라서 고전 논리를 비롯한 모든 초직관 논리에서 성립한다.

참조

_[1] 문서 Hurley
_[2] 문서 Moore and Parker
_[3] 문서 Copi and Cohen
_[4] 서적 Elementary Logic Springer 2008

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